数学充分条件和必要条件区别技巧

数学充分必要条件的判断技巧

对于必要条件和充分条件的判断,许多学生感到困难。左侧推出右侧,左侧为充分条件,右侧为必要条件。下面是一个典型的例子来说明判断充要条件的一般方法,供大家参考。

数学充分必要条件的判断技巧1

一、借助于“推出方向”理解充分条件与必要条件。

若pq,则下列说法等价:p是q的充分条件,q是p的必要条件。若pq,则称p与q互为充要条件,或p的充要条件是q,或q的充要条件是p。

例1、若A、B都是C的充要条件,D是A的必要条件,B是D的必要条件,则D是C的()

A充分不必要条件B必要不充分条件

C充要条件D既不充分也不必要条件

解:可用“推出方向”解。

由已知:AC,BC,AD,DB,可以推出D与C的关系:由DB,BC,得DC;由CA,AD,可得:CD。

∴CD,即D是C的充要条件。

二、借助子集的概念理解充分条件与必要条件。

若将命题p、q看成集合,当pq时,p是q的充分条件,q是p的必要条件。这里可以用“小范围推出大范围”帮助记忆。

例2、(1)若p:x>1,q:x≥5,则p是q的条件。

(2)若p:(x-1)(x-2)=0,q:x=2,则q是p的条件。

解:从集合角度考虑:(1)中有qp;(2)中有pq。根据“小范围推出大范围”知:(1)的p是q的必要但不充分条件;(2)中的q是p的充分但不必要条件。

三、借助原命题与其逆否命题为等价命题理解充分条件与必要条件。

例3、若p:x≠1,若y≠2,q:x+y≠3,则p是q的条件。

解:考虑其逆否命题:q:x+y=3,p:x=1且y=2,显然有:pq。

∴qp。即p是q的必要但不充分条件。

总之,A能推出B,说明A是B的充分条件,同时B是A的必要条件;B能推出A,说明B是A的充分条件,同时A是B的必要条件;A能推出B,同时B也能推出A,说明A是B的充分必要条件(简称充要条件)同时,B也是A的充要条件。只要同学们能够熟练运用以上办法进行充要关系的判断,必定能收到良好的效果。

数学充分必要条件的判断技巧【2】

判断充分与必要条件的方法

一、 定义法

可以简单的记为箭头所指为必要,箭尾所指为充分。在解答此类题目时,利用定义直接推导,一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义。

例1 已知p:-2

分析 条件p确定了m,n的范围,结论q则明确了方程的根的特点,且m,n作为系数,因此理应联想到根与系数的关系,然后再进一步化简。

解 设x1,x2是方程x2+mx+n=0的两个小于1的正根,即0

而对于满足条件p的m=-1,n=,方程x2-x+=0并无实根,所以pq.

综上,可知p是q的必要但不充分条件。

点评 解决条件判断问题时,务必分清谁是条件,谁是结论,然后既要尝试由条件能否推出结论,也要尝试由结论能否推出条件,这样才能明确做出充分性与必要性的判断。

二、 集合法

如果将命题p,q分别看作两个集合A与B,用集合意识解释条件,则有:①若A?哿B,则x∈A是x∈B的充分条件,x∈B是x∈A的必要条件;②若A?芴B,则x∈A是x∈B的充分不必要条件,x∈B是x∈A的必要不充分条件;③若A=B,则x∈A和x∈B互为充要条件;④若A?芫B且A?芸B,则x∈A和x∈B互为既不充分也不必要条件。

例2 设x,y∈R,则x2+y2<;2是|x|+|y|≤的条件,是|x|+|y|<;2的条件。

A. 充要条件 B. 既非充分也非必要条件

C. 必要不充分条件?摇D. 充分不必要条件

解 如右图所示,平面区域P={(x,y)|x2+y2<;2}表示圆内部分(不含边界);平面区域Q={(x,y)||x|+|y|≤}表示小正方形内部分(含边界);平面区域M={(x,y)||x|+|y|<;2}表示大正方形内部分(不含边界)。

由于(,0)?埸P,但(,0)∈Q,则P?芸Q.又P?芫Q,于是x2+y2<;2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要条件,故选B.

同理P?芴M,于是x2+y2<;2是|x|+|y|<;2的充分不必要条件,故选D.

点评 由数想形,以形辅数,这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现。数形结合不仅能够拓宽我们的解题思路,而且也能够提高我们的解题能力。

三、 逆否法

利用互为逆否命题的等价关系,应用“正难则反”的数学思想,将判断“p?圯q”转化为判断“非q?圯非p”的真假。

例3 (1)判断p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么条件;

(2) 判断p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么条件。

解 (1)原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么条件。

显然非p非q,非q非p,故p是q的既不充分也不必要条件。

(2) 原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么条件。

因为非p?圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分条件。

点评 当命题含有否定词时,可考虑通过逆否命题等价转化判断。

四、 筛选法

用特殊值、举反例进行验证,做出判断,从而简化解题过程。这种方法尤其适合于解选择题。

例4 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是

A. 0

解 利用特殊值验证:当a=0时,x=-,排除A,D;当a=1时,x=-1,排除B.因此选C.

点评 作为选择题,利用筛选法避免了复杂的逻辑推理过程,使解题方法更加优化,节省了时间,提高了解题的速度,因此同学们应该注意解题方法的选择使用。

五、 传递法

充分条件与必要条件具有传递性,即由P1?圯P2,P2?圯P3,…,Pn-1?圯Pn,可得P1?圯Pn 。同样,充要条件也有传递性。对于比较复杂的具有一定连锁关系的条件,两个条件间关系的判断也可用传递法来加以处理。

例5 已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

解 由题意可得p?圯r,r?圯s,s?圯q,那么可得p?圯r?圯s?圯q,即p是q的'充分不必要条件,故选A.

点评 对于两个以上的较复杂的连锁式条件,利用传递性结合符号“?圯”与“”,画出它们之间的关系结构图进行判断,可以直观快捷地处理问题,使问题得以简单化。

1. 求三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根的充要条件。

1. 三个方程均无实根的充要条件是

Δ1=16a2-4(-4a+3)<;0,Δ2=(a-1)2-4a2<;0,Δ3=4a2-4(-2a)<;0.

数学充分必要条件的判断技巧2

请检查以下问题:1、借助“晋升方向”了解必要和充分的条件。

如果是PQ,则下列语句等价:P是Q的充分条件,Q是P的必要条件;如果PQ,则P和Q是相互充要条件,或P的充要条件是Q,或Q的充要条件是P.

例1、如果a和B都是C的充要条件,D是a的必要条件,B是D的必要条件,那么D是a()

C的充要条件,B是C的充要条件a

C的充要条件D既不充分也不必要

解:解可以通过“推动方向”获得。

从已知的AC,BC,ad,DB,我们可以推导出D和C之间的关系:从DB,BC,DC;从Ca,ad可以得到CD。

//CD,即D,是C.

2的一个充要条件。借助子集的概念,我们理解了C.

2的充要条件。

如果把命题P和Q看作集合,当PQ,P是Q的充分条件,Q是P的必要条件,这里可以用“小范围推大范围”来帮助记忆。

例2、(1) 如果P:x1,Q:X≥5,那么P是Q.

(2)如果P:(X-1)(X-2)=0,Q:X=2,那么Q是P.

解的条件:从集合的角度来看:(1)有QP in;(2)有PQ in。根据“小范围推大范围”的思想,我们知道:(1)P of是Q的一个必要条件,但不是充分条件;(2)qin是P的一个充要条件。3、借助于原命题及其逆否定命题,我们可以理解其充要条件。

如果P:X≠1,如果y≠2,Q:X+y≠3,则P是Q.

解的条件:考虑其逆无命题:Q:X+y=3,P:X=1,y=2,显然存在:PQ。

∴qp,即P是Q的一个必要条件,但不是充分条件。

简言之,a可以推导出B,即a是B的充分条件,B是a的必要条件;B可以推导出a,说明B是a的充分条件,a是B的必要条件;a可以推导出B,B也可以推导出a,表示a是B的充要条件(简称充要条件),B也是a的充要条件,只要学生能熟练地运用上述方法来判断充要关系,就能收到很好的效果。

数学充分条件和必要条件区别技巧

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